數學基礎

我們從一般的熱傳導方程式開始，這是一種描述物質介質內能量連續守恆的陳述：

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( k \frac{\partial u}{\partial x} \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left( k \frac{\partial u}{\partial z} \right) = c \rho \frac{\partial u}{\partial t}$$

這裡，$u(x, y, z, t)$ 代表溫度分佈，而 $k$、$c$ 和 $\rho$ 則代表介質的物理性質。儘管此方程式極具美感，但其變係數常使其難以解析求解。

各向同性簡化

為跨越通往計算的橋樑，我們採用一個主要的簡化條件：假設為 各向同性體。

在此假設下，$k$ 相對於空間導數成為常數，使我們能將控制定律簡化為眾所周知的 拉普拉斯形式：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = \frac{c \rho}{k} \frac{\partial u}{\partial t}$$

通往現實世界的橋樑

考慮一根長度為 $l$ 的細長銅棒。雖然微積分允許我們為其溫度分佈寫出優美的二階偏微分方程式，但任何環境或內部熱源的變化都使得「紙筆」求解幾乎不可能。這種計算上的轉變是由於需要在缺乏閉合解析解的真實世界幾何形狀中求解這些方程式所驅動的。